Question

【题目】已知直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点P（2，1）．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若直线l′：y=﹣x+b交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．

Answer 1

【答案】解：（I）联立直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）， 可得（m+n）x2﹣6nx+9n﹣1=0，
由题意可得△=36n2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0，即为9mn=m+n，
又P在椭圆上，可得4m+n=1，
解方程可得m= ，n= ，
即有椭圆方程为 =1；
（II）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
联立直线y=b﹣x和椭圆方程，可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0，
判别式△=16b2﹣12（2b2﹣6）＞0，
x1+x2= ，x1x2= ，
y1+y2=2b﹣（x1+x2）= ，y1y2=（b﹣x1）（b﹣x2）=b2﹣b（x1+x2）+x1x2= ，
由PA⊥PB，即为 =（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）
=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2﹣（y1+y2）+1
= ﹣2 + ﹣ +5=0，
解得b=3或 ，代入判别式，成立．
则b=3或 ．
【解析】（I）联立直线与椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式为0，再将P的坐标代入椭圆方程，解方程可得m，n，进而得到椭圆方程；（II）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立直线y=b﹣x和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，韦达定理，再由A，B在直线上，代入直线方程，由垂直的条件，运用向量的数量积为0，化简整理，解方程可得b的值．
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．