Question

已知函数f（x）=3^x且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4x定义域为[-1，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）判断g（x）的单调性；
（3）若g（x）=m有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由函数f（x）=3^x且f^-1（18）=a+2解出3^a的值，整体代入g（x）=3^ax-4x中得到g（x）=2^x-4x，
（2）对g（x）=2^x-4x求导，用导数判断函数在[-1，1]上的单调性；
（3）令m属于g（x）的值域，可保证g（x）=m有解，故求m的范围的过程可转化为求g（x）的值域．

解答：解：（1）由函数f（x）=3^x且f^-1（18）=a+2可得3^a+2=18，故9×3^a=18，得3^a=2
又g（x）=3^ax-4x=（3^a）^x-4x=2^x-4x
故g（x）=2^x-4x，x∈[-1，1]．
（2）∵g'（x）=ln2×2^x-4是一增函数，
又x∈[-1，1]，故可得g'（1）=ln2×2-4＜0
∴g（x）=2^x-4x，在[-1，1]上是减函数．
（3）由（2）知函数在[-1，1]上是减函数．
故-2≤g（x）≤

9

2

∵g（x）=m有解，
故m的取值范围是[-2，

9

2

]

点评：本题的考点是指数函数单调性的应用，考查运用指数函数的单调性求值域，本题把求m的范围的问题可转化为求g（x）的值域，在求解数学问题时，合理的正确的转化是求解成功的关键．