Question

某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人）另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样的方法（按A类、B类分两层）从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果如下表1和表2．
表1

生产能力分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人数	8	x	3	2

表2

生产能力分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人数	6	y	27	18

（Ⅰ）先确定x、y的值，再补齐下列频率分布直方图．

（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“工人的生产能力与工人的类别有关”？

生产能力分组	[110，130）	[130，150）	合计
A类工人
B类工人
合计

附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k）	0，05	0.025	0.01	0.005
k	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

分析：（I）根据总体数和样本容量，得到每个个体被抽到的概率，得到两个组各自需要抽取的人数，减去已知的人数，得到x，y的值，根据所给的两个频率分布表做出频率分布直方图．
（II）先根据所给的数据得到列联表，把列联表中的数据代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较得到对应的概率的值，得到有99.9%的把握认为“工人的生产能力与工人的类别有关”

解答：解：（Ⅰ）∵从该工厂的工人中抽取100名工人，其中250名A类工人，另外750名B类工人，
∴要从A类工人中抽取25个人，从B类工人中抽取75个人，
∴x=25-8-3-2=12，y=75-6-27-18=24
∴频率分布直方图是：

（II）根据所给的数据可以得到列联表：

生产能力分组	[110，130）	[130，150）	合计
A类工人	20	5	25
B类工人	30	45	75
合计	50	50	100

把列联表中的数据代入求观测值的公式得到K²=

100(900-150)2

50×50×25×75

=12．
由于K²＞10.828，
所以有99.9%的把握认为“工人的生产能力与工人的类别有关”．

点评：本题考查频率分布直方图，考查独立性检验的应用，考查分层抽样，本题解题的关键是根据根据分层抽样做出两个数值，再进行下面的画图和列表，本题是一个中档题目．