Question

（2008•虹口区二模）当x＞2时，使不等式x+

1

x-2

≥a恒成立的实数a的取值范围是

（-∞，4]

．

Answer 1

分析：根据x＞2，得到x-2＞0，利用基本不等式可得（x-2）+

1

x-2

≥2

(x-2)• 1 x-2

=2，再结合原不等式恒成立，可得到左边的最小值4大于或等于a，由此可得实数a的取值范围是a≤4．

解答：解：∵x＞2
∴x-2＞0
∴x+

1

x-2

=（x-2）+

1

x-2

+2≥2

(x-2)• 1 x-2

+2=4
而不等式x+

1

x-2

≥a恒成立
∴（x+

1

x-2

）_min≥a
∴a的取值范围是（-∞，4]
故答案为（-∞，4]

点评：本题以分式不等式为例，考查了函数恒成立的知识，属于中档题．注意解法中配凑，然后用基本不等式的技巧，这是此类问题的常见处理方法．