Question

（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=

12

13

，cosC=

3

5

（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

Answer 1

分析：（1）作出相应的图形，根据cosC的值，求出tanC的值，设出BD表示出DC，由cosA的值，求出tanA的值，由BD表示出AD，进而表示出AB，由CD+AD=AC，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出AB的长；
（2）设乙出发xmin后到达点M，此时甲到达N点，如图所示，表示出AM与AN，在三角形AMN中，由余弦定理列出关系式，将表示出的AM，AN及cosA的值代入表示出MN²，利用二次函数的性质即可求出MN取最小值时x的值；
（3）由（1）得到BC的长，由AC的长及甲的速度求出甲到达C的时间，分两种情况考虑：若甲等乙3分钟，此时乙速度最小，求出此时的速度；若乙等甲3分钟，此时乙速度最大，求出此时的速度，即可确定出乙步行速度的范围．

解答：解：（1）∵cosA=

12

13

，cosC=

3

5

，
∴tanA=

5

12

，tanC=

4

3

，
如图作BD⊥CA于点D，
设BD=20k，则DC=15k，AD=48k，AB=52k，
由AC=63k=1260m，解得：k=20，
则AB=52k=1040m；
（2）设乙出发xmin后到达点M，此时甲到达N点，如图所示，
则AM=130xm，AN=50（x+2）m，
由余弦定理得：MN²=AM²+AN²-2AM•ANcosA=7400x²-14000x+10000，
其中0≤x≤10，当x=

35

37

min时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短；
（3）由（1）知：BC=500m，甲到C用时为1260÷50=

126

5

（min），
若甲等乙3分钟，则乙到C用时为

126

5

+3=

141

5

（min），在BC上同时为

86

5

（min），
此时乙的速度最小，且为500÷

86

5

=

1250

43

≈29.07（m/min）；
若乙等甲3分钟，则乙到C用时为

126

5

-3=

111

5

（min），在BC上用时为

56

5

（min），
此时乙的速度最大，且为500÷

56

5

=

2500

56

≈44.64（m/min），
则乙步行的速度控制在[29.07，44.64]范围内．

点评：此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．