Question

13．已知圆心为C的圆：（x-a）²+（y-b）²=8（a，b为正整数）过点A（0，1），且与直线y-3-2$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点M（4，-1）的直线l与圆C相交于E，F两点，且$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CF}$=0．求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据直线和圆相切的关系求出圆的半径，即可求圆C的方程；
（2）将直线和圆联立，根据条件∠ECF=90°，根据点到直线啥单位距离即可得到结论．

解答 解：（1）圆C为（x-a）²+（y-b）²=8（a，b）为正整数，
∴圆C的半径为$2\sqrt{2}$，圆心为（a，b）
圆C过点A（0，1）且与直线$y-3-2\sqrt{2}=0$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{（1-b）^2}=8\\ \left|{b-3-2\sqrt{2}}\right|=2\sqrt{2}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}\right.$，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-3）²=8，
（2）直线l与圆C相交于E，F两点，且$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CF}=0$
∴CE⊥CF，即△CEF为等腰直角三角形
圆C的半径为$2\sqrt{2}$，
∴圆心C到直线l的距离为2，
∴当直线l的斜率不存在时，即直线l为x=4，很显然满足题意要求，
∴当直线l的斜率存在时，设直线l为：y=k（x-4）-1，
∴$\frac{{\left|{3-2k+4k+1}\right|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$，即 $k=-\frac{3}{4}$即直线l为$y=-\frac{3}{4}x+2$由上综合可知，
直线l为x=4或$y=-\frac{3}{4}x+2$．

点评 本题主要考查圆的方程，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．