Question

9．已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₁₀+a₉=6a₈，若存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，则$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{11}{5}$
• C． $\frac{9}{10}$
• D． $3+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q＞0，由a₁₀+a₉=6a₈，可得a₈（q²+q）=6a₈，解得q=2．根据存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，化为：m+n=6．则$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{1}{6}（m+n）（\frac{2}{m}+\frac{1}{n}）$=$\frac{1}{6}（3+\frac{2n}{m}+\frac{m}{n}）$，令$\frac{n}{m}$=t∈{1，2，5}，（m，n∈N^*），即可得出．

解答 解：设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₁₀+a₉=6a₈，∴a₈（q²+q）=6a₈，解得q=2．
∵存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}×{2}^{m+n-2}}$=4a₁，化为：m+n=6．
则$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{1}{6}（m+n）（\frac{2}{m}+\frac{1}{n}）$=$\frac{1}{6}（3+\frac{2n}{m}+\frac{m}{n}）$，
令$\frac{n}{m}$=t∈{1，2，5}，（m，n∈N^*）．
则f（t）=2t+$\frac{1}{t}$，f（1）=3，f（2）=$\frac{9}{2}$，f（5）=$\frac{51}{5}$．
∴最大值为$\frac{1}{6}（3+\frac{51}{5}）$=$\frac{11}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、指数运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．