Question

18．设函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．
（1）若函数f（x）的图象与直线y=x-1相切，求a的值；
（2）当1＜x＜2时，求证：$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{ln（x-1）}＜\frac{1}{（x-1）（2-x）}$．

Answer 1

分析 （1）$f'（x）=lnx+\frac{x+1}{x}-a$，设切点为（x₀，y₀），则切线为y-y₀=f'（x₀）（x-x₀），又切线为y=x-1，可得$\left\{\begin{array}{l}ln{x_0}+\frac{{{x_0}+1}}{x_0}-a=1\\-{x_0}+ln{x_0}+a=0\end{array}\right.$，消a，再利用函数的单调性即可得出x₀，a．
（2）令$g（x）=f'（x）=lnx+\frac{1}{x}+1-a，（x＞0）$，所以$g'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，可得其单调性．g（x）_min=g（x）_极小值=g（1）=2-a，当a≤2时，即2-a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，进而证明结论．

解答 （1）解：$f'（x）=lnx+\frac{x+1}{x}-a$，设切点为（x₀，y₀），
则切线为y-y₀=f'（x₀）（x-x₀），即$y=（ln{x_0}+\frac{{{x_0}+1}}{x_0}-a）x-{x_0}+ln{x_0}+a-1$，
又切线为y=x-1，所以$\left\{\begin{array}{l}ln{x_0}+\frac{{{x_0}+1}}{x_0}-a=1\\-{x_0}+ln{x_0}+a=0\end{array}\right.$，
消a，得$2ln{x_0}-{x_0}+\frac{1}{x_0}=0$，设$g（x）=2lnx-x+\frac{1}{x}$，
易得g（x）为减函数，且g（1）=0，所以x₀=1，a=1
（2）证明：令$g（x）=f'（x）=lnx+\frac{1}{x}+1-a，（x＞0）$，所以$g'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，
当x＞1时，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）为单调递增；
当0＜x＜1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，1）为单调递减；
所以g（x）_min=g（x）_极小值=g（1）=2-a，
当a≤2时，即2-a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，
即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以x∈（1，2）时，f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x-1），所以$\frac{1}{lnx}＜\frac{x+1}{2（x-1）}$，①
因为1＜x＜2，所以$0＜x-1＜1，\frac{1}{x-1}＞1$，
所以$（\frac{1}{x-1}+1）ln\frac{1}{x-1}＞2（\frac{1}{x-1}-1）$，即$-\frac{1}{ln（x-1）}＜\frac{x}{2（2-x）}$，②
①+②得：$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{ln（x-1）}＜\frac{x+1}{2（x-1）}+\frac{x}{2（2-x）}=\frac{2}{（x-1）（2-x）}$，
故当1＜x＜2时，$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{ln（x-1）}＜\frac{1}{（x-1）（2-x）}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、研究切线方程、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．