Question

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2

3

，A=

π

3

，则此三角形周长的最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：首先利用正弦定理求出周长的关系式l=2

3

+4sinB+4sinC，进一步利用三角恒等变换求出l=2

3

+4

3

sin(B+

π

6

)，最后利用B的范围，求出l的最值．

解答： 解：在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2

3

，A=

π

3

，
根据正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

解得：b=4sinB，c=4sinC
三角形周长l=2

3

+4sinB+4sinC
=2

3

+4sinB+4sin(180°-A-B)
=2

3

+4

3

sin(B+

π

6

)
因为0＜B＜

2π

3

、
所以

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

当B+

π

6

=

π

2

，lmax=6

3

故答案为：6

3

点评：本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的恒等变换，利用三角形的内角的范围求正弦型函数的最值．属于基础题型．