Question

已知向量

m

=（sin（A-B），sin(

π

2

-A)），

n

=（1，2sinB），且

m

•

n

=-sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA+sinB=

3

2

sinC，且S_△ABC=

3

，求边c的长．

Answer 1

分析：（I）根据向量数量积的坐标公式，结合题意得

m

•

n

=sin（A+B）=-sin2C，利用二倍角的三角函数公式和诱导公式化简得cosC=-

1

2

，由此即可算出角C的大小；
（II）根据题意，由正弦定理得到a+b=

3

2

c．由三角形面积公式算出ab=4，再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子联解，即可算出c=

4 5

5

．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=（sin（A-B），sin(

π

2

-A)），

n

=（1，2sinB），
∴

m

•

n

=sin（A-B）+2sin(

π

2

-A)sinB=sin（A-B）+2cosAsinB=sin（A+B）
∵

m

•

n

=-sin2C，∴sin（A+B）=-sin2C，
∵sin（A+B）=sn（π-C）=sinC，
∴sinC=-2sinCcosC，
结合sinC＞0，得-2cosC=1，cosC=-

1

2

∵C∈（0，π），∴C=

2π

3

；
（Ⅱ）∵sinA+sinB=

3

2

sinC，
∴由正弦定理得a+b=

3

2

c．
又∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab=

3

，∴ab=4，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-ab
∴c²=

9

4

c²-ab，可得

5c2

4

=ab=4，解之得c=

4 5

5

．

点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标形式，在已知数量积的情况下解△ABC．着重考查了向量的数量积、三角恒等变换和正余弦定理等知识，属于中档题．