Question

9．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足2acosC=2b-$\sqrt{3}$c．
（1）求A的大小；
（2）现给出三个条件：①a=2； ②B=45°；③c=$\sqrt{3}$b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积 （只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2cosAsinC=$\sqrt{3}$sinC，结合sinC＞0，可得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合A的范围即可得解A的值．
（2）方案一：选择①②，由正弦定理可求b，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，利用三角形面积公式即可计算得解；方案二：选择①③，由余弦定理则可求b，c的值，利用三角形面积公式即可得解．若选择②③，可求sinC=$\sqrt{3}$sinB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$＞1不成立，这样的三角形不存．

解答 解：（1）∵2acosC=2b-$\sqrt{3}$c．
∴2sinAcosC=2sinB-$\sqrt{3}$sinC，
∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC-$\sqrt{3}$sinC，可得：2cosAsinC=$\sqrt{3}$sinC．
∵sinC＞0，
∴可得：cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）方案一：选择①②
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得b=$\frac{asinB}{sinA}$=2$\sqrt{2}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
∴S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\sqrt{3}+1$
方案二：选择①③
由余弦定理b²+c²-2bccosA=a²，有b²+3b²-3b²=4，则b=2，c=2$\sqrt{3}$，
所以S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$．
说明：若选择②③，由c=$\sqrt{3}b$得，sinC=$\sqrt{3}$sinB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$＞1不成立，这样的三角形不存．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．