Question

18、设异面直线a与b所成的角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条？

Answer 1

分析：为了讨论：过点O与a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条，先将涉及到的线放置在同一个平面内观察，如图产，只须考虑过点O与直线a₁、b₁所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条即可，再利用cosθ=cosθ₁•cosθ₂．进行角之间的大小比较即得．

解答：解：过点O作a₁∥a，b₁∥b，则相交直线a₁、b₁确定一平面α．a₁与b₁夹角为50°或130°，设直线OA与a₁、b₁均为θ角，作AB⊥面α于点B，BC⊥a₁于点C，BD⊥b₁于点D，记∠AOB=θ₁，∠BOC=θ₂（θ₂=25°或65°），则有cosθ=cosθ₁•cosθ₂．因为0°≤θ₁≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ₂．
当θ₂=25°时，由0≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；
当θ₂=65°时，由0≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°．
故当θ＜25°时，直线l不存在；当θ=25°时，直线l有且仅有1条；
当25°＜θ＜65°时，直线l有且仅有2条；
当θ=65°时，直线l有且仅有3条；
当65°＜θ＜90°时，直线l有且仅有4条；
当θ=90°时，直线l有且仅有1条．

点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及空间想象力、转化思想方法，属于基础题．