Question

（2012•马鞍山二模）如图，在正三棱柱ABC一DEF中，AB=2，AD=1，P是CF的延长线上一点，过A、B、P三点的平面交FD于M，交EF于N．
（I）求证：MN∥平面CDE：
（II）当平面PAB⊥平面CDE时，求三梭台MNF-ABC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据正三棱柱的性质，平面与平面平行的性质定理，可得AB∥MN，结合DE∥AB得到DE∥MN，最后用线面平行的判定定理，可证出MN∥平面CDE．
（II）取AB中点G、DE中点H，连接PG、CH，利用线面平行的性质结合面面垂直的性质，可得PG⊥CH，再由平面几何知识得Rt△PCG∽Rt△HGC，算出PF=2，进而得到FM=

4

3

且△PMN是等边三角形，最后利用两个三棱锥体积相减即可得到三梭台MNF-ABC的体积．

解答：解：（Ⅰ）∵正三棱柱ABC一DEF中，平面ABC∥平面DEF，平面PAB∩平面DEF=MN，平面PAB∩平面ABC=AB，
所以AB∥MN；…（2分）
又∵平行四边形ABED中，DE∥AB，∴DE∥MN，； …（4分）
∵MN?平面CDE，DE⊆平面CDE，
∴MN∥平面CDE…（6分）
（Ⅱ）取AB中点G、DE中点H，连接PG、CH，则
由GH∥PC知P、C、G、H在同一平面上，并且由PA=PB知PG⊥AB，
类似于（Ⅰ）的证明方法可得AB平行于平面PAB与平面CDE的交线，
因此PG也垂直于该交线，
由此可得，若平面PAB⊥平面CDE，则PG⊥平面CDE，可得PG⊥CH
根据平面几何知识，得Rt△PCG∽Rt△HGC，所以

PC

CG

=

PC

GH

…（8分）
设PF=t，则

1+t

3

=

3

1

，可得t=2…（10分）
从而

MF

AC

=

PF

PC

，得到MF=

4

3

∴V_NMF-ABC=V_P-ABC-V_P-MNF=

1

3

×

3

4

[2²×3-（

4

3

）²×2]=

19 3

27

…（13分）

点评：本题在一个正三棱柱中探索面面垂直问题，并求截出三棱台的体积，着重考查了线面位置关系、台体体积求法等有关知识，考查学生空间想象能力，属于中等题．