Question

15．已知y=f（x）是奇函数在定义域（-1，1）上是减函数，且f（1-a）+f（1-3a）＞0，则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 根据函数f（x）是奇函数，将不等式f（1-a）+f（1-3a）＞0移项，整理得f（1-a）＞f（3a-1）．因为f（x）函数为定义在（-1，1）上的减函数，所以有-1＜3a-1＞1-a＜1，解之即得实数a的取值范围．

解答 解：：∵f（1-a）+f（1-3a）＞0
∴移项，得f（1-a）＞-f（1-3a）
又∵f（x）在（-1，1）上为奇函数
∴-f（1-3a）=f（3a-1）
且-1＜1-3a＜1…①，
∴f（1-a）＞f（3a-1）
又∵f（x）是定义在（-1，1）上的减函数
∴1-a＜3a-1且-1＜1-a＜1…②，
联解①②，得$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{2}{3}$，
∴实数a的取值范围为（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题给出一个定义在（-1，1）上的抽象函数，在已知其单调性和奇偶性的情况下，解关于a的不等式，着重考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．