Question

(1)已知f(1＋)＝－1，求f(x)．

(2)已知一次函数y＝f(x)满足f[f(x)]＝2x－1，试求函数y＝f(x)的表达式．

(3)已知函数的定义域为非零实数组成的集合，且满足3f(x)＋2f()＝4x，求函数y＝f(x)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)方法一：由已知f(1＋)＝(1＋)2－2(1＋)，则f(x)＝x2－2x． 　　因为1＋≠1，故f(x)＝x2－2x，(x≠1)． 　　方法二：设t＝1＋≠1，所以x＝，所以f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，故f(x)＝x2－2x，(x≠1)． 　　(2)因为f(x)为一次函数，故可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有 　　f[f(x)]＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f[f(x)]＝2x－1， 　　所以解得或 　　所以f(x)＝或f(x)＝． 　　(3)从题给条件看，只要设法消去f()，即可求得f(x)． 　　因为3f(x)＋2f()＝4x，用代换该式中的x，得3f()＋2f(x)＝， 　　上述两式组成方程组，消去f()，可得f(x)＝． 　　点评：求函数解析式的常用方法有： 　　(1)配凑法和换元法 　　如果已知复合函数f[g(x)]的表达式，要求f(x)的解析式时，若f[g(x)]的表达式右边易配成g(x)的运算形式，则可用配凑法求f(x)的解析式；若在方程t＝g(x)中易求出x＝g(t)，用换元法求f(x)的解析式．但要注意无论是配凑法还是换元法，所求函数的定义域必须满足两个条件：是函数t＝g(x)的值域，且使f(x)的解析式有意义．配凑法和换元法：易配凑时配凑法，易求x时换元法． 　　(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数，二次函数，反比例函数等)，一般的方法是设出函数的解析式，然后根据题设条件求待定系数． 　　(3)赋值法(列方程组法)：求抽象函数的解析式，有时要通过取特殊值，或以变量换变量，然后通过解方程组求出解析式．此法又称为列方程组法．

提示：

已知复合函数表达式求简单函数的表达式用换元法或配凑法．已知函数类型的用待定系数法，抽象函数求表达式用列方程组法．