Question

已知直线l:y=2(x-8),抛物线y²=ax(a＞0).

(1)l过抛物线的焦点时,求a;

(2)若△ABC的顶点都在抛物线上,且A点的纵坐标为8,当△ABC的重心与抛物线的焦点重合时,求直线BC的方程.

Answer 1

解:(1)抛物线y²=ax的焦点F(,0)在直线l:y=2(x-8)上,∴2(-8)=0,求得a=32.

(2)∵点A在抛物线y²=32x上,且点A的纵坐标为8,∴点A(2,8).

设B(x₁,y₁)、C(x₂,y₂),

∵△ABC的重心为抛物线的焦点F(8,0),

∴=8,=0.

∴=11,=-4.

∴BC的中点为(11,-4).

又B、C在抛物线上,∴y₁²=32x₁,y₂²=32x₂.∴==-4.

由点斜式,

∴直线BC的方程为4x+y-40=0.