Question

如图所示，在△ABC中，

CA

⊥

CB

，

OA

=(0，-2)，M在y轴上，且

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，C在x轴上移动．
（Ⅰ）求点B的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F(0，-

1

4

)的直线l交轨迹E于H，G两点（H在F，G之间），若

FH

=

1

2

HG

，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设B（x，y），C（a，0），M（0，b），a≠0，根据

CA

⊥

CB

，得出∠ACB=90°，于是a²=2b，再结合M在y轴上，及题中向量关系得出M是BC的中点，x，y的关系式即为B的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设满足条件的直线l的方程，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量关系式即可求得k值，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）设B（x，y），C（a，0），M（0，b），a≠0，∵

CA

⊥

CB

，即∠ACB=90°∴

2

a

•

b

-a

=-1，
于是a²=2b①M在y轴上，且

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，∴M是BC的中点，可得

a+x 2 =0 y+0 2 =b

∴

a=-x b= y 2

②
把②代入①得y=x²（x≠0），所以B的轨迹E的方程为y=x²（x≠0）（6分）
（Ⅱ）点F(0，-

1

4

)，设满足条件的直线l的方程为y=kx-

1

4

，H（x₁，y₁），G（x₂，y₂）
由

y=kx- 1 4 y=x2

得x2-kx+

1

4

=0，△=k²-1＞0，∴k²＞1，
∵

FH

=

1

2

HG

，
∴(x1，y1+

1

4

)=

1

2

(x2-x1，y1-y2)，
∴x1=

1

2

x2-

1

2

x1，
∴3x₁=x₂，
∵x₁+x₂=k，x1x2=

1

4

，
∴k=±

2 3

3

（13分）
直线l的斜率：k=±

2 3

3

．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，提高解题能力和解题时技巧，注意合理地进行等价转化．