Question

19．直线y=kx-1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{a}=1$相切，则k，a的取值范围分别是（　　）

• A． a∈（0，1），k∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• B． a∈（0，1]，k∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• C． a∈（0，1），k∈（-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）
• D． a∈（0，1），k∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 直线y=kx-1，恒过点（0，-1），直线y=kx-1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{a}=1$相切，可判断点（0，-1）在椭圆外，可求得a的范围．根据方程组的解判断k的范围．

解答 解：∵直线y=kx-1，恒过点（0，-1），直线y=kx-1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{a}=1$相切，
∴点（0，-1）在椭圆外，即$\frac{1}{a}$＞1，a∈（0，1]
（2）联立方程组得：（a+4k²）x²-8kx4-4a=0，
△=64k²a+16a²-16a=0，
a=1-4k²，即0＜1-4k²＜1，
解得：-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$，
所以实数a的取值范围 （0，1]，k的取值范围（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题综合考查了点、直线与椭圆的位置关系，结合方程，不等式，求解．