Question

5．如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2AO=2，AB=AD．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

分析 （I）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设可得AO²+CO²=AC²，由此能够证明AO⊥平面BCD．
（II）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，$EM=\frac{1}{2}AB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，OE=\frac{1}{2}DC=1$，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦．
（III）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，$CA=CD=2，AD=\sqrt{2}$，可求S△ACD，由AO=1，可求S△CDE，由此能求出点E到平面ACD的距离．

解答 （本题满分13分）
解：（I）证明：连结OC，∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得$AO=1，CO=\sqrt{3}$．
而AC=2，∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD．
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，
在△OME中，$EM=\frac{1}{2}AB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，OE=\frac{1}{2}DC=1$，
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，
∴$OM=\frac{1}{2}AC=1$，
∴$cos∠OEM=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
（III）解：设点E到平面ACD的距离为h．
$\begin{array}{l}∵{V_{E-ACD}}={V_{A-CDE}}，\\∴\frac{1}{3}h．{S_{△ACD}}=\frac{1}{3}．AO．{S_{△CDE}}.\end{array}$
在△ACD中，$CA=CD=2，AD=\sqrt{2}$，
∴${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{{2^2}-{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．
而$AO=1，{S_{△CDE}}=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$h=\frac{{AO．{S_{△CDE}}}}{{{S_{△ACD}}}}=\frac{{1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{7}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
∴点E到平面ACD的距离为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题，属于中档题．