Question

已知函数的减区间是．

⑴试求m、n的值；

⑵求过点且与曲线相切的切线方程；

⑶过点A（1，t）是否存在与曲线相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：⑴ 由题意知：的解集为，

  所以，-2和2为方程的根，                 ………………2分

由韦达定理知  ，即m=1，n=0．          ………………4分

⑵ ∵，∴，∵

  当A为切点时，切线的斜率 ，

∴切线为，即；                 ………………6分

   当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，

切线方程为，即   

因为过点A（1，-11），  ，∴，

∴ 或，而为A点，即另一个切点为，

∴ ，

切线方程为 ，即 ………………8分

所以，过点的切线为或．    …………9分

⑶ 存在满足条件的三条切线．                                      …………10分

设点是曲线的切点，

则在P点处的切线的方程为  即

因为其过点A（1，t），所以，，   

由于有三条切线，所以方程应有3个实根，           …………………………11分

设，只要使曲线有3个零点即可．

设 =0， ∴ 分别为的极值点，

当时，在和 上单增，

当时，在上单减，

所以，为极大值点，为极小值点.

所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，

解得   .                                          …………14分

【解析】略