Question

探究函数f（x）=x2+

2

x

(x＞0)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．

x	…	0.25	0.5	0.75	1	1.1	1.2	1.5	2	3	5	…
y	…	8.063	4.25	3.229	3	3.028	3.081	3.583	5	9.667	25.4	…

已知：函数f（x）=x2+

2

x

(x＞0)在区间（0，1）上递减，问：
（1）函数f（x）=x2+

2

x

(x＞0)在区间

[1，+∞）

上递增．当x=

1

时，y_最小=

3

；
（2）函数g(x)=9x2+

2

3|x|

在定义域内有最大值或最小值吗？如有，是多少？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

Answer 1

分析：（1）由表中数据可推测函数f（x）在区间[1，+∞）上递增，从而当x=1 时，y_最小=3，证明此结论可利用导数或均值定理；
（2）利用换元法，设t=|3x|，将函数g（x）转化为函数f（t），利用（1）中的结论求最值即可

解答：解：（1）由表中数据可知：函数f（x）=x2+

2

x

(x＞0)在区间[1，+∞）上递增．
当x=1 时，y_最小=3．
故答案为[1，+∞），1，3
（2）由函数g（x）=9x2+

2

3|x|

=（3x）2+

2

|3x|

=t²+

2

t

，（令t=|3x|），
由（1）知函数g（x）有最小值3，
又因为g（-x）=g（x），所以g（x）是偶函数，
所以函数g（x）取得最小值时t=3|x|=1，即x=±

1

3

点评：本题主要考查了利用列表法研究函数性质的方法，利用换元法求函数最值的方法，转化化归的思想方法