Question

解方程x⁴+1=0，并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点．

Answer 1

分析：将-1写为复数的三角形式，由方程的复数跟的表达式直接求出四个根，再由复数的几何意义找出复数在复平面内对应的点，进行证明即可．

解答：解：∵x⁴=-1=cosπ+isinπ，
∴x=cos

π+2kπ

4

+isin

π+2kπ

4

，k=0，1，2，3．
x₁=cos

π

4

+isin

π

4

=

2

2

+i

2

2

．
x₂=cos

3π

4

+isin

3π

4

=-

2

2

+i

2

2

．
x₃=cos

5π

4

+isin

5π

4

=-

2

2

-i

2

2

．
x₄=cos

7π

4

+isin

7π

4

=

2

2

-i

2

2

．
在复平面内（x为实轴，y为虚轴）
分别用A、B、C、D四点来表示四个根x₁、x₂、x₃、x₄（如图）
即A（

2

2

，

2

2

），B（-

2

2

，

2

2

），
C（-

2

2

，-

2

2

），D（

2

2

，-

2

2

）
∵A、B关于y轴对称，A、D关于x轴对称，∴∠A=90°，
同理，∠B=∠C=∠D=90°
且|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=

2

．
∴ABCD是正方形，而A、B、C、D是顶点．

点评：本题考查方程的复数跟的求解、复数的三角形式、复数的几何意义等知识，考查计算能力．