Question

【题目】已知定义域为R的函数 是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函数且0∈R，∴f（0）=0即

∴

又由f（1）=-f（-1）知 a=2

∴f（x）=

（2）解：证明设x1,x2∈（-∞,+∞）且x1<x2

·

∵y=2x在（-∞,+∞）上为增函数且x1<x2，∴

且y=2x>0恒成立，∴

∴f（x1）-f（x2）>0 即f（x1）>f（x2）

∴f（x）在（-∞,+∞）上为减函数

∵f（x）是奇函数f（x2-x）+f（2x2-t）<0等价于f（x2-x）<-f（2x2-t）=f（-2x2+t）

又∵f（x）是减函数，∴x2-x>-2x2+t

即一切x∈R，3x2-x-t>0恒成立

∴△=1+12t<0，即t<

【解析】(1)利用奇函数的性质f(0)=0求出b的值，根据奇函数的定义即可求出a的值即可。(2)由题意根据函数单调性的定义可证出f（x）在（-∞,+∞）上为减函数，结合函数的奇偶性以及单调性得到关于x的一元二次不等式，利用一元二次不等式的性质求出t的取值范围。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集，以及对函数奇偶性的性质的理解，了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．