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(2010•眉山一模)已知A、B、C为三个锐角,且A+B+C=π,若向量
p
=(2sinA-2,cosA+sinA)
与向量
q
=(cosA-sinA,1+sinA)
是共线向量.
(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)求函数y=2sin2B+cos
C-3B
2
的最大值.
分析:(1)由已知
p
 与
q
共线
,利用向量共线的条件及A为锐角整理可得,sinA=
3
2
,从而可求角A的值.
(2)结合(1)中的条件可把所求函数式化简得,y=sin2Bcos
π
6
-cos2Bsin
π
6
+1
,利用辅助角公式可得y=
sin2B-
π
6
)+1,结合题中锐角三角形的条件可求B的范围,进而求出函数的值域,从而得到函数的最大值.
解答:解:(1)∵
p
=(2-2sinA,cosA+sinA)  ,
q
=(sinA-cosA,1+sinA),且
m
n
共线,
可得(2-2sinA)(1+sinA)-(sinA-cosA)(cosA+sinA)=0,化简可得sinA=±
3
2

又△ABC是锐角三角形,∴sinA=
3
2
即A=
π
3

(2)由A=
π
3
得B+C=
3
,即C=
3
-B,
y=2sin2B+cos
C-3B
2
=2sin2B+cos(
π
3
-2B)
=1-cos2B+cos
π
3
cos2B+sin
π
3
sin2B
=1+sin2Bcos
π
6
-cos2Bsin
π
6
=sin(2B-
π
6
)+1

π
2
-A<B<
π
2
,∴
π
6
<B<
π
2
,∴
π
3
<2B<π,∴
π
6
<2B-
π
6
6

1
2
<sin(2B-
π
6
)≤1
.故
3
2
 <sin(2B-
π
6
)+1≤2

因此函数y=2sin2B+cos
C-2B
2
的值域为(
3
2
,2],故函数y的最大值等于2.
点评:本题主要考查了向量平行的坐标表示,特殊角的三角函数值,两角和差的三角角公式的运用,正弦函数的值域的求解等知识,综合的知识较多,但都是基本方法的考查,要求考生具备扎实的基本功,熟练运用知识.
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