Question

5．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的标准方程为 x²=2py，把点P（2，1）代入可得 p 值，从而求得抛物线的标准方程．
（2）当斜率不存在时，直线方程为x=2 符合题意；当斜率存在时，先设直线方程并联立抛物线方程，得出△=0，即可求出结果．

解答 解：（1）设抛物线的标准方程为  x²=2py，把点P（2，1）代入可得 4=2p，∴p=2，
故所求的抛物线的标准方程为x²=4y．
（2）①当斜率不存在时，直线方程为x=2 符合题意
②当斜率存在时，设直线方程为：y-1=k（x-2）即y=kx-2k+1
联立方程可得，$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}=4y\\ y=kx-2k+1\end{array}\right.$，消去y整理可得x²-4kx+8k-4=0，
∵直线与抛物线只有一个公共点
∴△=16k²-32k+16=0
∴k=1
综上可得，x-y-1=0，x=2，

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．