Question

11．求下列方程的解集：
（1）3sin²x+2sinx-1=0
（2）2sin²x+3cosx=0
（3）cos2x=3cosx+1
（4）3（1-sinx）=cos2x+1
（5）sinx-sin$\frac{x}{2}$=0．

Answer 1

分析 （1）把sinx当成一个整体，由一元二次方程的解法求出sinx，由特殊角的正弦函数值和反三角函数，求出方程的解集；
（2）利用二倍角的余弦公式变形化简方程，把cosx当成一个整体，由一元二次方程的解法求出cosx，由特殊角的余弦函数值和余弦函数的值域，求出方程的解集；
（3）利用二倍角的余弦公式变形化简方程，把cosx当成一个整体，由一元二次方程的解法求出cosx，由特殊角的余弦函数值和余弦函数的值域，求出方程的解集；
（4）利用二倍角的余弦公式变形化简方程，把sinx当成一个整体，由一元二次方程的解法求出sinx，由特殊角的正弦函数值和反三角函数，求出方程的解集；
（5）利用二倍角的正弦公式化简方程，由特殊角的三角函数值，求出方程的解集．

解答 解：（1）由3sin²x+2sinx-1=0得，sinx=$\frac{1}{3}$或sinx=-1，
∴$x=arcsin\frac{1}{3}+2kπ$（k∈Z）或$x=π-arcsin\frac{1}{3}+2kπ$（k∈Z）或$x=-\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，
∴方程的解集是{x|$x=arcsin\frac{1}{3}+2kπ$或$x=π-arcsin\frac{1}{3}+2kπ$或$x=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$}；
（2）由2sin²x+3cosx=0得，-2cos²x+3cosx+2=0，
解得cosx=$-\frac{1}{2}$或cosx=2（舍去）
∴$x=\frac{2π}{3}+2kπ$（k∈Z）或$x=\frac{4π}{3}+2kπ（k∈Z）$，
∴方程的解集是{x|$x=\frac{2π}{3}+2kπ$或$x=\frac{4π}{3}+2kπ，k∈Z$}；
（3）由cos2x=3cosx+1得，2cos²x-3cosx=0，
解得cosx=0或cosx=$\frac{3}{2}$（舍去），
∴$x=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
∴方程的解集是{x|$x=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$}；
（4）由3（1-sinx）=cos2x+1得，2sin²x-3sinx-1=0，
解得sinx=$\frac{1}{2}$或sinx=-1，
∴$x=\frac{π}{2}±\frac{π}{3}+2kπ$（k∈Z）或$x=-\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，
∴方程的解集是{x|$x=\frac{π}{2}±\frac{π}{3}+2kπ$或$x=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$}；
（5）由sinx-sin$\frac{x}{2}$=0得，2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$=0，
则sin$\frac{x}{2}$（2cos$\frac{x}{2}$-1）=0，即sin$\frac{x}{2}$=0或cos$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴x=2kπ（k∈Z）或$x=±\frac{2π}{3}+4kπ$（k∈Z），
∴方程的解集是{x|x=2kπ或$x=±\frac{2π}{3}+4kπ$，k∈Z}．

点评 本题考查了二倍角公式以及变形，反三角函数，三角函数值的应用，以及一元二次方程的解法，考查整体思想，化简、变形能力．