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11.求下列方程的解集:
(1)3sin2x+2sinx-1=0
(2)2sin2x+3cosx=0
(3)cos2x=3cosx+1
(4)3(1-sinx)=cos2x+1
(5)sinx-sin$\frac{x}{2}$=0.

分析 (1)把sinx当成一个整体,由一元二次方程的解法求出sinx,由特殊角的正弦函数值和反三角函数,求出方程的解集;
(2)利用二倍角的余弦公式变形化简方程,把cosx当成一个整体,由一元二次方程的解法求出cosx,由特殊角的余弦函数值和余弦函数的值域,求出方程的解集;
(3)利用二倍角的余弦公式变形化简方程,把cosx当成一个整体,由一元二次方程的解法求出cosx,由特殊角的余弦函数值和余弦函数的值域,求出方程的解集;
(4)利用二倍角的余弦公式变形化简方程,把sinx当成一个整体,由一元二次方程的解法求出sinx,由特殊角的正弦函数值和反三角函数,求出方程的解集;
(5)利用二倍角的正弦公式化简方程,由特殊角的三角函数值,求出方程的解集.

解答 解:(1)由3sin2x+2sinx-1=0得,sinx=$\frac{1}{3}$或sinx=-1,
∴$x=arcsin\frac{1}{3}+2kπ$(k∈Z)或$x=π-arcsin\frac{1}{3}+2kπ$(k∈Z)或$x=-\frac{π}{2}+2kπ(k∈Z)$,
∴方程的解集是{x|$x=arcsin\frac{1}{3}+2kπ$或$x=π-arcsin\frac{1}{3}+2kπ$或$x=-\frac{π}{2}+2kπ,k∈Z$};
(2)由2sin2x+3cosx=0得,-2cos2x+3cosx+2=0,
解得cosx=$-\frac{1}{2}$或cosx=2(舍去)
∴$x=\frac{2π}{3}+2kπ$(k∈Z)或$x=\frac{4π}{3}+2kπ(k∈Z)$,
∴方程的解集是{x|$x=\frac{2π}{3}+2kπ$或$x=\frac{4π}{3}+2kπ,k∈Z$};
(3)由cos2x=3cosx+1得,2cos2x-3cosx=0,
解得cosx=0或cosx=$\frac{3}{2}$(舍去),
∴$x=\frac{π}{2}+kπ(k∈Z)$,
∴方程的解集是{x|$x=\frac{π}{2}+kπ,k∈Z$};
(4)由3(1-sinx)=cos2x+1得,2sin2x-3sinx-1=0,
解得sinx=$\frac{1}{2}$或sinx=-1,
∴$x=\frac{π}{2}±\frac{π}{3}+2kπ$(k∈Z)或$x=-\frac{π}{2}+2kπ(k∈Z)$,
∴方程的解集是{x|$x=\frac{π}{2}±\frac{π}{3}+2kπ$或$x=-\frac{π}{2}+2kπ,k∈Z$};
(5)由sinx-sin$\frac{x}{2}$=0得,2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$=0,
则sin$\frac{x}{2}$(2cos$\frac{x}{2}$-1)=0,即sin$\frac{x}{2}$=0或cos$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$,
∴x=2kπ(k∈Z)或$x=±\frac{2π}{3}+4kπ$(k∈Z),
∴方程的解集是{x|x=2kπ或$x=±\frac{2π}{3}+4kπ$,k∈Z}.

点评 本题考查了二倍角公式以及变形,反三角函数,三角函数值的应用,以及一元二次方程的解法,考查整体思想,化简、变形能力.

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