Question

已知复数均为实数，为虚数单位，且对于任意复数。

（Ⅰ）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式；

（Ⅱ）将(、)作为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；

（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。

Answer 1

[解]（1）由题设，，

于是由，                            

因此由，

得关系式                                

 [解]（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足

，                                   

消去，得，

故点的轨迹方程为                       

 [解]（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，

∴所求直线可设为，                              

[解法一]∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点

仍在该直线上，

∴，

即，

当时，方程组无解，

故这样的直线不存在。                                           

当时，由

得，

解得或，

故这样的直线存在，其方程为或，                      

 [解法二]取直线上一点，其经变换后的点仍在该直线上，

∴，

得，                                            …（14分）

故所求直线为，取直线上一点，其经变换后得到的点仍在该直线上。

∴，                                    

即，得或，

故这样的直线存在，其方程为或