Question

设函数y=1-

2x+1-n

x2+x+1

（n∈N^*）的最小值为a_n，最大值为b_n，又C_n=3（a_n+b_n）-9
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求

lim

n→∞

C1+C2+…+Cn

Cn

（n∈N^*）的值
（3）设Sn=

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

，dn=S2n+1-Sn，是否存在最小的整数m，使对任意的n∈N^*都有dn＜

m

25

成立？若存在，求出m的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）函数可变形为（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0①，当y=1 时不符合题意；当y≠1 时，方程①为二次方程，利用△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0，可求函数的值域，根据函数y=1-

2x+1-n

x2+x+1

（n∈N^*）的最小值为a_n，最大值为b_n，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由题意知a_n，b_n 是方程3y²-（4n+6）y-1+4n=0 的两根，则an+bn=

4n+6

3

，从而C_n=4n-3 （n∈N^*），求出T_n=C₁+C₂+…+C_n n（2n-1），即可求极限；
（3）根据Sn=

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

，dn=S2n+1-Sn=

1

Cn+1

+

1

Cn+2

+…+

1

C2n+1

可得dn+1-dn=

1

8n+5

+

1

8n+9

-

1

4n+1

=(

1

8n+5

-

1

8n+2

)+(

1

8n+9

-

1

8n+2

)＜0，从而数列{d_n} 为递减数列，从而数列 {d_n} 的最大项为d1=

14

45

，dn＜

m

25

恒成立，只需

14

45

＜ 

m

25

，故可求最小的整数．

解答：解：（1）函数可变形为（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0①
当y=1 时不符合题意；当y≠1 时，方程①为二次方程，
∵x∈R
∴△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0 得-3y²+（4n+6）y+1-4n≥0 且y≠1
∴

2n+3-2 n2+3

3

≤y≤

2n+3+2 n2+3

3

∵函数y=1-

2x+1-n

x2+x+1

（n∈N^*）的最小值为a_n，最大值为b_n
∴

2n+3-2 n2+3

3

（2）由题意知a_n，b_n 是方程3y²-（4n+6）y-1+4n=0 的两根，
则an+bn=

4n+6

3

于是C_n=4n-3 （n∈N^*） …4分
设T_n=C₁+C₂+…+C_n
由C_n=4n-3 （n∈N^*），可知T_n=n（2n-1）
∴

lim

n→∞

Tn

Cn

=

lim

n→∞

2n2-n 16n2-24n+9

=

2

4

  …8分
（3）∵Sn=

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

，dn=S2n+1-Sn=

1

Cn+1

+

1

Cn+2

+…+

1

C2n+1

∴dn+1-dn=

1

8n+5

+

1

8n+9

-

1

4n+1

=(

1

8n+5

-

1

8n+2

)+(

1

8n+9

-

1

8n+2

)＜0
∴数列{d_n} 为递减数列，从而数列 {d_n} 的最大项为d1=

14

45

，
即dn＜

m

25

恒成立，只需

14

45

＜ 

m

25

，
∴m＞

70

9

，故最小的整数m=8．…13分

点评：本题以函数为载体，考查数列的通项，考查数列的极限，考查数列的单调性及恒成立问题，有综合性．