Question

（2013•东城区模拟）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求
（Ⅰ）摸出3个白球的概率；
（Ⅱ）摸出至少两个白球的概率；
（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人有放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为甲箱子里装有3个白球，乙箱子里装有1个白球，从这两个箱子里各随机摸出2个球，摸出3个白球只能是从甲箱子里摸出2个白球，从乙箱子里摸出2个白球；
（Ⅱ）摸出至少两个白球包括摸出两个白球和摸出三个白球两类，摸出两个白球又包括两个白球都来自甲箱子和甲乙两个箱子各1个；
（Ⅲ）一个人有放回地摸2次，可以看作是两次独立重复试验，先求出得分X的分布列，然后直接利用期望公式求期望．

解答：解：（I）设“从这两个箱子里各随机摸出2个球，摸出i个白球”为事件A_i=（i=0，1，2，3），
则P(A3)=

C 2 3

C 2 5

•

C 1 2

C 2 3

=

1

5

；                       
（Ⅱ） 设“至少两个白球”为事件B，则B=A₂∪A₃，
又P(A2)=

C 2 3

C 2 5

•

C 2 2

C 2 3

+

C 1 2 C 1 2

C 2 5

•

C 1 2

C 2 3

=

1

2

．
且A2，A3互斥，所以P(B)=P(A2)+P(A3)=

1

2

+

1

5

=

7

10

；
（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．
P(X=0)=(1-

7

10

)2=

9

100

，
P(X=1)=

C

1 2

•

7

10

•(1-

7

10

)=

21

50

，
P(X=2)=(

7

10

)2=

49

100

．
所以X的分布列是

X	0	1	2
P	9 100	21 50	49 100

X的数学期望E(X)=0×

9

100

+1×

21

50

+2×

49

100

=

7

5

．

点评：本题考查了古典概率模型及其概率的求法，考查了互斥事件的概率和相互独立事件的概率，考查了随机事件的分布列和期望，解答的关键是分清概率类型，正确求出概率，此题（Ⅲ）也可直接利用二项分布的期望公式计算，是中档题．