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已知f(x)=x-sinx,{an}满足:0<a1<1,an+1=f(an),n=1,2,3,…
证明:
(1)0<an<1;
(2)an+1<an
(3)an+1
1
6
an3
考点:数列与不等式的综合
专题:点列、递归数列与数学归纳法,三角函数的求值
分析:(1)直接利用数学归纳法证明0<an<1;
(2)直接作差后结合0<an<1得答案;
(3)构造函数g(x)=sinx-x+
1
6
x3
,0<x<1,求导后得到函数为增函数,由函数为增函数得答案.
解答: 证明:(1)先用数学归纳法证明0<an<1,n=1,2,3,…
(i)当n=1时,由已知显然结论成立;
(ii)假设当n=k时结论成立,即0<ak<1,
∵0<x<1时,f′(x)=1-cosx>0,
∴f(x)在(0,1)上是增函数,
又f(x)在[0,1]上连续,
从而f(0)<f(ak)<f(1),即0<ak+1<1-sin1<1,
故n=k+1时,结论成立;
由(i)、(ii)可知,0<ak<1对一切正整数都成立;
(2)又∵0<ak<1时,an+1-an=an-sinan-an=-sinan<0,
∴an+1<an
(3)设函数g(x)=sinx-x+
1
6
x3
,0<x<1,
由(1)知,当0<x<1时,sinx<x,
从而g(x)=cosx-1+
x2
2
=-2sin2
x
2
+
x2
2
>-2(
x
2
)2+
x2
2
=0

∴g(x)在(0,1)上是增函数,
又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,
∴当0<x<1时,g(x)>0成立,
于是g(an)>0,即sinan-an+
1
6
an3>0

an+1
1
6
an3
点评:本题考查了归纳法证明数列不等式,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了三角函数的有界性,体现了数学转化思想方法,是压轴题.
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π
4
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2
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α
2
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1
3
C、2
D、
1
2

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1
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8
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f′(x)
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