Question

【题目】若为某一整系数多项式的根，则称为“代数数”.否则，称为“超越数”，证明：

（1）可数个可数集的并为可数集；

（2）存在超越数.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）设为可数集（注意到，题中所述的可数集有可数个.则可对这些集合进行自然数编号）.

设.

将与对应（、均为正整数），则为有理数.故中有元素与有理数集中的元素一一对应.

因为有理数集为可数集，所以，为可数集.

（2）设所有次整系数多项式的根构成的集合为.

只需证明：次整系数多项式有可数个，即，

其中，均为正整数，有可数种取值.

用数学归纳法证明.

（i）证明有可数个，

对固定的、有可数种取值，又有可数种取值，由（1）知可数个可数集的并为可数集.因此，有可数个.

（ii）假设有可数个.

对固定的，则有可数个.

又有可数种取值，则由（1）知有可数个，每个整系数多项式有可数个根，而次整系数多项式有可数个，故次整系数多项式的所有根构成的集合为可数集.

由（1）知为可数集，即代数数集为可数集.

又为不可数集，故超越数一定存在.