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精英家教网如图,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2
(I)求该抛物线上纵坐标为
p
2
的点到其焦点F的距离
(II)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求
y1+y2
y0
的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.
分析:(I)把y=
p
2
代入抛物线方程求得x,进而利用抛物线的方程推断出准线方程,最后根据抛物线的定义求得答案.
(II)设出直线PA,PB的斜率,把A,P点代入抛物线的方程相减后,表示出两直线的斜率,利用其倾斜角互补推断出
kPA=-kPB,求得三点纵坐标的关系式,同样把把A,B点代入抛物线的方程相减后,表示出AB的斜率,将y1+y2=-2y0代入求得结果为非零常数.
解答:精英家教网解:(I)当y=
p
2
时,x=
p
8

又抛物线y2=2px的准线方程为x=-
p
2

由抛物线定义得,所求距离为
p
8
-(-
p
2
)=
5p
8


(II)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB
由y12=2px1,y02=2px0
相减得(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0
kPA=
y1-y0
x1-x0
=
2p
y1+y0
(x1x0)

同理可得kPB=
2p
y2+y0
(x2x0)

由PA,PB倾斜角互补知kPA=-kPB
2p
y1+y0
=-
2p
y2+y0

所以y1+y2=-2y0
y1+y2
y0
=-2

设直线AB的斜率为kAB
由y22=2px2,y12=2px1
相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1
所以kAB=
y2-y1
x2-x1
=
2p
y1+y2
(x1x2)

将y1+y2=-2y0(y0>0)代入得kAB=
2p
y1+y2
=-
p
y0
,所以kAB是非零常数
点评:本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.
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