【题目】设函数f(x)= ,a为常数,且a∈(0,1).
(1)若x0满足f(x0)=x0 , 则称x0为f(x)的一阶周期点,证明函数f(x)有且只有两个一阶周期点;
(2)若x0满足f(f(x0))=x0 , 且f(x0)≠x0 , 则称x0为f(x)的二阶周期点,当a= 时,求函数f(x)的二阶周期点.
【答案】
(1)证明:由题可得,当0≤x≤a时, ,因为a∈(0,1),所以x=0;
当a<x≤1时, ,因为a∈(0,1),所以x= ,
所以函数f(x)有且只有两个一阶周期点
(2)解:当 时,
所以
当 时,由4x=x,解得x=0,
因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;
当 时,由2﹣4x=x,解得 ,
因为 ,故 是f(x)的二阶周期点;
当 时,由4x﹣2=x,解得 ,
因为 ,故 不是f(x)的二阶周期点;
当 时,由4﹣4x=x,解得 ,
因为 ,故 是f(x)的二阶周期点;
综上,当 时,函数f(x)的二阶周期点为x1= ,x2=
【解析】(1)利用定义通过当0≤x≤a时,当a<x≤1时,验证函数f(x)有且只有两个一阶周期点.(2)当 时, ,推出 ,利用函数的定义域,通过分段求解即可.
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【题目】如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,速度为28 km/h.
问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法)
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【题目】从某高中随机选取5名高一男生,其身高和体重的数据如表所示:
身高x(cm) | 160 | 165 | 170 | 175 | 180 |
体重y(kg) | 63 | 66 | 70 | 72 | 74 |
根据如表可得回归方程 =0.56x+ ,据此模型可预报身高为172cm的高一男生的体重为( )
A.70.12kg
B.70.29kg
C.70.55kg
D.71.05kg
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【题目】已知常数m≠0,n≥2且n∈N,二项式(1+mx)n的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,第三项系数是第二项系数的9倍.
(1)求m、n的值;
(2)若记(1+mx)n=a0+a1(x+8)+a2(x+8)2+…+an(x+8)n , 求a0﹣a1+a2﹣a3+…+(﹣1)nan除以6的余数.
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【题目】为得到函数y=sin(2x﹣ )的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移 个长度单位
B.向右平移 个长度单位
C.向左平移 个长度单位
D.向右平移 个长度单位
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【题目】已知 =(sinx,cosx), =(sinx,k), =(﹣2cosx,sinx﹣k).
(1)当x∈[0, ]时,求| + |的取值范围;
(2)若g(x)=( + ) ,求当k为何值时,g(x)的最小值为﹣ .
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若圆C与直线x﹣y+a=0交与A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.
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