Question

8．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=8，c=6，A=$\frac{π}{3}$，∠BAC的角平分线交边BC于点D，则|AD|=$\frac{24}{7}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意和余弦定理可得BC，进而由角平分线性质定理可得BD，然后由余弦定理可得关于AD的一元二次方程，解方程验证可得．

解答 解：由题意和余弦定理可得BC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}-2×8×6×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{13}$，
由角平分线性质定理可得BD：DC=6：8，∴BD=$\frac{6}{6+8}$BC=$\frac{6\sqrt{13}}{7}$，
再由余弦定理可得BD²=36+AD²-12AD×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴（$\frac{6\sqrt{13}}{7}$）²=36+AD²-6$\sqrt{3}$AD，整理可得AD²-6$\sqrt{3}$AD+$\frac{3{6}^{2}}{49}$=0，
解关于AD的一元二次方程可得AD=$\frac{6\sqrt{3}±\frac{6\sqrt{3}}{7}}{2}$，
∴AD=$\frac{24\sqrt{3}}{7}$，或AD=$\frac{18\sqrt{3}}{7}$（不满足三角形三边关系，舍去）
故答案为：$\frac{24}{7}\sqrt{3}$．

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和一元二次方程的解法，属中档题．