Question

【题目】已知抛物线C1:x2=4y 的焦点F也是椭圆c2:的一个焦点， C1和C2的公共弦长为
（1）求 C2的方程；
（2）过点F 的直线 l与 C1相交于A与B两点， 与C2相交于C ， D两点，且与 同向
（ⅰ）若 求直线l的斜率；
（ⅱ）设 C1在点 A处的切线与 x轴的交点为M ，证明：直线l 绕点 F旋转时， MFD总是钝角三角形。

Answer 1

【答案】（1）
（2）(i),
(ii)见解析。
【解析】（1）根据已知条件可求得C2的焦点坐标为（0,1），再利用公共弦长为即可求解由C1：知其焦点F的坐标（0,1）因为F也是椭圆C2的一焦点，所以①又C1与C2的公共弦长为 ， C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为由此易得C1与C2公共点的坐标为所以，②联立①，②得a2=9,b2=8故C2的方程为
（2）（ⅰ）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1,由得x2+16kx+64=0,根据条件可知 ， 从而可以建立关于k的方程，即可求解，如图f因为与同向且所以 ， 从而,于是③，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1,由得而x1x2是这个方程的两个根所以由得（9+8k）2+16kx-64=0而x3x4是这个方程的两个根,所以⑤将④⑤带入③得
, 即 , 所以 , 解得，k=

（ⅱ）根据条件可说明 ， 因此是锐角，从而是钝角，即可得证由令y=0得即所以，而于是因此是锐角。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程和椭圆的参数方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：；椭圆的参数方程可表示为．