Question

15．数列{a_n}中，为递增等比数列，a₂=9，a₁+a₃=30．
（1）求{a_n}；
（2）数列{2n•a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设递增等比数列{a_n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）设递增等比数列{a_n}的公比为q，
则a₁q=9，a₁+a₁q²=30，
解方程可得q=3，a₁=3（q=$\frac{1}{3}$，a₁=27舍去），
即有a_n=3ⁿ：
（2）2n•a_n=2n•3ⁿ，
即有前n项和T_n=2（3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ），
3T_n=2（3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹），
两式相减可得-2T_n=2（3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹）
=2（$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹）
化简可得，前n项和T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}+3}{2}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和的方法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．