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15.已知$f(x)=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$,
(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)判断函数f(x)的单调性,并用单调性定义证明之;
(Ⅲ)求f(x)的值域.

分析 (Ⅰ)用函数的奇偶性定义判断,先求函数的定义域,看是否关于原点对称,若定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)是相等还是相反即可;
(Ⅱ)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,作差f(x1)-f(x2),并利用指数的运算性质,判断出f(x1)与f(x2)的大小,即可证明f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;
(Ⅲ)可运用分离常数的办法求此函数的值域,将函数f(x)等价转化为f(x)=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$,再由复合函数值域的求法即换元法,求此函数值域即可.

解答 解:(Ⅰ)函数的定义域为R,
f(-x)+f(x)=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$+$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{(2}^{x}-1){(2}^{-x}+1)+{(2}^{-x}-1){(2}^{x}+1)}{{(2}^{x}+1){(2}^{-x}+1)}$=0,
∴函数f(x)为奇函数;
(Ⅱ)f(x)是(-∞,+∞)上的增函数
证明:设x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{(2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}})}{{(2}^{{x}_{1}}+1){(2}^{{x}_{2}}+1)}$,
∵x1,x2∈R,且x1<x2
∴ax1-ax2<0,ax1+1>0,ax2+1>0,
∴$\frac{2{(2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}})}{{(2}^{{x}_{1}}+1){(2}^{{x}_{2}}+1)}$<0,
即f(x1)-f(x2)<0,
f(x1)<f(x2
∴f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;
(Ⅲ)∵f(x)=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$,
设t=ax,则t>0,y=1-$\frac{2}{t+1}$的值域为(-1,1),
∴该函数的值域为(-1,1).

点评 本题考察了函数奇偶性的定义和判断方法,求函数值域的方法和证明函数单调性的方法,解题时要准确把握基本概念,熟练的运用转化化归思想解题

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