【题目】已知集合,函数定义于并取值于.(用数字作答)
(1)若对于任意的成立,则这样的函数有_______个;
(2)若至少存在一个,使,则这样的函数有____个.
【答案】15625 46575
【解析】
(1)若对于任意的成立,所以每一个,可以对应除它本身之外5个元素之中的一个,利用分步乘法原理可得结果;
(2)从反面来研究,找到对任意在一个,使的总数,然后用没有限制下的总数减去即可.
(1)利用分步乘法原理,每一个,都有5种结果可以与它对应,
故这样的函数有个;
(2)若对任意在一个,使,
①当集合中6个数都满足时,符合,有1个;
②当集合中6个数有三个数满足,两两不等时,另三个数满足,符合,此时有个;
③当集合中6个数三个数满足,两两不等,另三个数也满足,两两不等时,
符合,此时有.
故若对任意在一个,使,这样的函数有81个,
若至少存在一个,使,则这样的函数有个.
故答案为:15625;46575.
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【题目】已知,都是各项为正数的数列,且,.对任意的正整数n,都有,,成等差数列,,,成等比数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若存在p>0,使得集合M=恰有一个元素,求实数的取值范围.
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【题目】据调查,某地区有300万从事传统农业的农民,人均年收入6000元,为了增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高,而进入企业工作的农民的人均年收入为元.
(1)在建立加工企业后,多少农民进入企业工作,能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大,并求出最大值;
(2)为了保证传统农业的顺利进行,限制农民加入加工企业的人数不能超过总人数的,当地政府如何引导农民,即取何值时,能使300万农民的年总收入最大.
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【题目】若函数的图象上存在关于直线对称的不同两点,则称具有性质.已知为常数,函数,,对于命题:①存在,使得具有性质;②存在,使得具有性质,下列判断正确的是( )
A.①和②均为真命题B.①和②均是假命题
C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题
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【题目】已知圆,直线, .
(1)求证:对,直线与圆总有两个不同的交点;
(2)求弦的中点的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线;
(3)是否存在实数,使得原上有四点到直线的距离为?若存在,求出的范围;若不存在,说明理由.
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