Question

怎样求二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值？

Answer 1

答案：
解析：

解：画出函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2，3]的图像，如下图所示． 　　观察图像，得函数f(x)＝x2－2x在区间[－2，1]上是减函数，则此时最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1；函数f(x)＝x2－2x在区间(1，3]上是增函数，则此时最大值是f(3)＝3，最小值是f(1)＝－1； 　　则函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2，3]的最大值是8，最小值是－1．因此可见，求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值的关键是看二次项系数a的符号和对称轴x＝的相对位置，由此确定其单调性，再由单调性求得最值． 　　可以利用同样方法归纳出结论： 　　若a＞0，则 　　(1)当＜p，即对称轴在区间[p，q]的左边时，画出草图如图(1)，从图像上易得f(x)在[p，q]上是增函数，则f(x)min＝f(p)，f(x)max＝f(q)． 　　(2)当p≤≤，即对称轴在区间[p，q]的左端点与区间中点之间时，画出草图如图(2)．从图像上易得f(x)在[p，q]上的最值情况是f(x)min＝f()＝，f(x)max＝f(q)． 　　(3)当＜≤q，即对称轴在区间[p，q]的中点与右端点之间时，画出草图如图(3)．从图像上易得f(x)在[p，q]上的最值情况是f(x)min＝f()＝，f(x)max＝f(p)． 　　(4)当＞q，即对称轴在区间[p，q]的右边时，画出草图如图(4)．从图像上易得f(x)在[p，q]上是减函数，则f(x)min＝f(q)，f(x)max＝f(p)． 　　对a＜0的情况，可类似得出． 　　即二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值： 　　设f(x)在区间[p，q]上的最大值为M，最小值为m，x0＝(p＋q)． 　　结合图像得： 　　当a＞0时， 　　若＜p，则f(p)＝m，f(q)＝M； 　　若p≤≤x0，则f()＝m，f(q)＝M； 　　若x0＜≤q，则f(p)＝M，f()＝m； 　　若＞q，则f(p)＝M，f(q)＝m． 　　当a＜0时， 　　若＜p，则f(p)＝M，f(q)＝m； 　　若p≤≤x0，则f()＝M，f(q)＝m； 　　若x0＜≤q，则f(p)＝m，f()＝M； 　　若＞q，则f(p)＝m，f(q)＝M．

提示：

剖析：求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值时，易错认为最大值是f(q)，最小值是f(p)．其突破方法是结合二次函数f(x)在闭区间[p，q]上的图像，依据函数的单调性求出．我们知道，①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；②如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．因此二次函数f(x)在闭区间[p，q]上的最值问题转化为判断其单调性问题． 　　例如：求函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2，3]的最大值和最小值． 　　思路分析：画出函数的图像，写出单调区间，根据函数的单调性求出．