Question

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C上任意一点到点M（0，

1

2

）的距离与到直线y=-

1

2

的距离相等．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设A₁（x₁，0），A₂（x₂，0）是x轴上的两点（x₁+x₂≠0，x₁x₂≠0），过点A₁，A₂分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点A₁′，A₂′，直线A₁′A₂′与x轴交于点A₃（x₃，0），这样就称x₁，x₂确定了x₃．同样，可由x₂，x₃确定了x₄．现已知x₁=6，x₂=2，求x₄的值．

Answer 1

分析：（I）根据抛物线的定义，可得曲线C是以点M（0，

1

2

）为焦点，直线y=-

1

2

为准线的抛物线，算出焦参数p=1即得
抛物线方程为x²=2y，即为所求曲线C的方程；
（II）由抛物线方程可得：A₁′（x₁，

1

2

x₁²），A₂′（x₂，

1

2

x₂²），从而化简出A₁′A₂′斜率为

1

2

（x₁+x₂），得出直线A₁′A₂′方程，令y=0得

1

x

=

1

x1

+

1

x2

，结合x₁=6、x₂=2算出x₃=

3

2

．再用同样的方法算出

1

x4

=

7

6

，即可求出x₄的值．

解答：解：（Ⅰ）因为曲线C上任意一点到点M（0，

1

2

）的距离与到直线y=-

1

2

的距离相等，
根据抛物线定义知，曲线C是以点M（0，

1

2

）为焦点，直线y=-

1

2

为准线的抛物线，
设抛物线方程为x²=2py，可得

p

2

=

1

2

，解得p=1，
故抛物线方程为x²=2y即为所求曲线C的方程；                     …（4分）
（Ⅱ）由题意，得A₁′（x₁，

1

2

x₁²），A₂′（x₂，

1

2

x₂²），
则kA1′A2′=

1 2 (x22-x12)

x2-x1

=

1

2

（x₁+x₂），
故直线A₁′A₂′方程为：y-

1

2

x₁²=

1

2

（x₁+x₂）（x-x₂）．                        …（6分）
令y=0，得

1

x

=

1

x1

+

1

x2

，即

1

x3

=

1

x1

+

1

x2

．              …（8分）
∵x₁=6，x₂=2，∴

1

x3

=

1

x1

+

1

x2

=

1

6

+

1

2

=

2

3

，可得x₃=

3

2

同理可得

1

x4

=

1

x3

+

1

x2

=

1

2

+

2

3

=

7

6

，…（9分）
于是求得x₄的值为

6

7

．                                                …（10分）

点评：本题给出曲线C满足的条件，求曲线的方程并讨论曲线上两点与x轴上的点共线的问题．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义与简单性质和动点轨迹方程求法等知识，属于中档题．