Question

已知函数f（x）定义域是{x|x≠

k

2

，k∈Z，x∈R}，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-

1

f(x)

，当

1

2

＜x＜1时：f（x）=3^x．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求f（x）在（0，

1

2

）上的表达式；
（3）是否存在正整，使得x∈（2k+

1

2

，2k+1）时，log₃f（x）＞x²-kx-2k有解，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据f（x+1）=-

1

f(x)

，得到周期为2；再结合f（x）+f（2-x）=0即可判断f（x）的奇偶性；
（2）任取x∈（0，

1

2

）⇒-x∈（-

1

2

，0）⇒1-x∈（

1

2

，1）；再结合奇函数的性质以及当

1

2

＜x＜1时：f（x）=3^x即可得到结论；
（3）先根据所求结论得到f（x）=f（x-2k）=3^x-2k；把不等式转化为x²-（k+1）x＜0在x∈（2k+

1

2

，2k+1）上有解（k∈N₊），得到（0，k+1）∩（2k+

1

2

，2k+1）≠∅，即可求出结论．

解答：解：（1）∵f（x+2）=f（x+1+1）=-

1

f(x+1)

=f（x），
所以f（x）的周期为2…（2分）
所以f（x）+f（2-x）=0⇒f（x）+f（-x）=0，
所以f（x）为奇函数．…（4分）
（2）任取x∈（0，

1

2

）⇒-x∈（-

1

2

，0）⇒1-x∈（

1

2

，1）．
∴f（x）=-f（-x）=

1

f(1-x)

∴f（x）=

1

31-x

=3x-1．…（8分）
（3）任取x∈（2k+

1

2

，2k+1）⇒x-2k∈（

1

2

，1），
∴f（x）=f（x-2k）=3^x-2k；
∴log₃f（x）＞x²-kx-2k有解
即x²-（k+1）x＜0在x∈（2k+

1

2

，2k+1）上有解（k∈N₊），
所以：（0，k+1）∩（2k+

1

2

，2k+1）≠∅，
故有k+1＞2k+

1

2

，无解．
故不存在这样的正整数．…（12分）

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断．具备奇偶性的函数，其定义域必关于原点对称，再依据奇函数、偶函数的定义做出判断．