Question

【题目】已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）．
（1）a= 时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）存在两个不同的极值x1 ， x2 ， 求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求f（x）在（0，a]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=x（lnx﹣ax），

∴f′（x）=lnx﹣2ax+1，

当a= 时，f′（1）=0，且f（1）=﹣ ，

∴过点（1，f（1））的切线方程为y=﹣

（2）解：令g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+1，则 ，

当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，

g（x）与X轴只有一个交点即f（x）只有一个极值点，不合题意．

当a＞0时，x∈（0， ）时，g′（x）＞0，g（x）在（0， ）上递增，

x∈（ ）时，g′（x）＜0，g（x）在（ ）上递减，

只需g（ ）=ln ＞0，即0＜a＜ 时，f（x）有两个极值点

故0＜a＜

（3）解：由（2）知 0＜a＜ 时，f（x）有两个极值点x1，x2，

f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减，

又f′（1）=1﹣2a＞0，则0＜x1＜1，且lnx1﹣2ax1+1=0，

解得a= ，此时a﹣x1= ，

令h（x）=lnx+1﹣2x2，（0＜x＜1）， ，

从而h（x）在（0， ）上递增，（ ，1）上递减，

故h（x）≤h（ ）=ln ，

所以a＜x1，又f（x）在（0，x1）上递减，

从而f（x）的最小值为f（a）=a（lna﹣a2）

【解析】（1）求出f′（x）=lnx﹣2ax+1，由此利用导数的几何意义能出过点（1，f（1））的切线方程． （2）令g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+1，则 ，由此利用导数性质及分类讨论思想能求出a的取值范围．（3）0＜a＜ 时，f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， f（x）在（0，x1）上递减，在（x1 ， x2）上递，在（x2 ， +∞）上递减，令h（x）=lnx+1﹣2x2 ， （0＜x＜1）， ，由此利用导数性质能求出f（x）的最小值．
【考点精析】利用函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．