Question

【题目】已知命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 ． （Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，a＜x＜4a，解集A=（a，4a）． 命题q：实数x满足 ，解得2＜x≤4．解集B=（2，4]．
a=1，且p∧q为真，则A∩B=（1，4）∩（2，4]=（2，4）．
∴实数x的取值范围是（2，4）．
（Ⅱ）￢p：（﹣∞，a]∪[4a，+∞）．
￢q：（﹣∞，2]∪（4，+∞）．
若￢p是￢q的充分不必要条件，则 ，解得1≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[1，2]
【解析】（I）命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，解集A=（a，4a）．命题q：实数x满足 ，解集B=（2，4]． a=1，且p∧q为真，求A∩B即可得出．
（Ⅱ）￢p：（﹣∞，a]∪[4a，+∞）．￢q：（﹣∞，2]∪（4，+∞）．利用￢p是￢q的充分不必要条件，即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用复合命题的真假的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．