Question

已知函数f（x）=x²+ax+3-a，其中x∈[-2，2]．
（1）当a=1时，求它的单调区间；
（2）当a∈R时，讨论它的单调性；
（3）若f（x）≥12-4a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=1时写出f（x）表达式，根据其图象可得单调区间；
（2）f（x）的对称轴方程为x=-

a

2

，分-

a

2

≤-2，-

a

2

≥2，-4＜a＜4三种情况讨论：结合图象可得函数单调区间；
（3）根据不等式分离出参数a后转化为求函数的最值即可；

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x²+x+2，对称轴方程为x=-

1

2

，
则f（x）的单调减区间为[-2，-

1

2

]；
单调减区间为[-

1

2

，2]；
（2）f（x）=x²+ax+3-a，对称轴方程为x=-

a

2

，
下面分三种情况讨论：
当-

a

2

≤-2时得a≥4，f（x）的单调增区间为[-2，2]；
当-

a

2

≥2时得a≤-4，f（x）的单调减区间为[-2，2]；
当-4＜a＜4时，f（x）的单调减区间为[-2，-

a

2

]，单调增区间为[-

a

2

，2]．
（3）当x∈[-2，2]时，有f（x）≥12-4a恒成立，
等价于a≥3-x，只要a≥（3-x）_max，
而x∈[-2，2]，所以a≥5．

点评：本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查数形结合思想、转化思想，属中档题．