Question

【题目】定义在（﹣1，1）上的减函数f（x）且满足对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（log2x﹣1）+f（log2x）＜0．

Answer 1

【答案】解：（1）：（Ⅰ）证明：令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；
令y=﹣x得，f（x）+f（﹣x）=f（0）=0；
故f（x）为奇函数；
（Ⅱ）令 ，则不等式f（log2x﹣1）+f（log2x）＜0
化为不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，
即f（t﹣1）＜﹣f（t）＜f（﹣t），
∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数，
∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，
解得0＜t＜ ，
又 ，所以0＜ ＜
解得，1＜x＜
所以，不等式的解集为（1， ）
【解析】（Ⅰ）令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；从而可得f（x）+f（﹣x）=0；从而证明为奇函数，（Ⅱ）令 ，则不等式f（log2x﹣1）+f（log2x）＜0，化为不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即f（t﹣1）＜﹣f（t）＜f（﹣t），f（x）在（﹣1，1）上是增函数，转化为﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1求解即可，