Question

（文） 已知函数 f（x）=-3x²+（6a-a²）x+b．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值；
（2）若f（1）=0，当实数a变化时，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数 f（x）=-3x²+（6a-a²）x+b，不等式f（x）＞0的解集为（-1，3），根据一元二次不等式与二次函数及一元二次方程之间的辩证关系，我们可得x=-1、x=3是方程3x²-a（6-a）x-b=0的两实根，进而由韦达来之不易（一元二次方程根与系数的关系）构造关于a，b的方程，解方程即可得到实数a，b的值；
（2）由已知中函数 f（x）=-3x²+（6a-a²）x+b，且f（1）=0，我们可得b=（a-3）²-6，进而根据二次函数的图象和性质，即可得到实数b的取值范围．

解答：解：（1）故x=-1、x=3是方程3x²-a（6-a）x-b=0的两实根，
由韦达定理，得

-1+3- a(6-a) 3 -1×3-(- b 3 )

⇒

a-3± 3 b-9

                    …（8分）
（2）由f（1）=0得
b=（a-3）²-6，
∴b∈[-6，+∞）…（14分）

点评：本题考查的知识点二次函数的性质，一元二次不等式的应用，其中根据一元二次不等式解集的端点与二次函数的零点及一元二次方程的根之间的关系，将问题转化为x=-1、x=3是方程3x²-a（6-a）x-b=0的两实根，是解答本题的关键．