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已知f(x)为R上不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(a•b)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(3)若f(2)=2,g(n)=f(2n)(n∈N),求g(n).
分析:(1)根据题意,用赋值法,令a=b=0,可得f(0)的值,令a=b=1,可得f(1)=f(1)+f(1),即可得f(1);
(2)由(1)中f(1)=0的结论;再令a=b=-1,则f(1)=-2f(-1)=0,可得f(-1)的值,进而令a=x,b=-1,则f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),即可得答案;
(3)根据题意,f(2n)=f(2×2n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2),又由f(2)=2,可得f(2n)=f(2n-1)+2n,进而等式可以变形,则数列{
f(2n)
2n
}是首项为
f(2)
2
=1,公差为1的等差数列,由等差数列的通项公式可得答案.
解答:解:(1)根据题意,对于任意的a,b∈R都满足:f(a•b)=af(b)+bf(a),
令a=b=0,可得f(0)=0,
令a=b=1,可得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0;
(2)由(1)的结论,f(1)=0;
令a=b=-1,则f(1)=-2f(-1)=0,∴f(-1)=0
令a=x,b=-1,则f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)
f(x)为奇函数.
(3)根据题意,f(2n)=f(2×2n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2),
又由f(2)=2,则f(2n)=2f(2n-1)+2n
等式左右两边同除2n可得
f(2n)
2n
=
f(2n-1)
2n-1
+1,
则数列{
f(2n)
2n
}是首项为
f(2)
2
=1,公差为1的等差数列,
f(2n)
2n
=n,f(2n)=n×2n
故g(n)=f(2n)=n×2n
点评:本题考查数列与抽象函数的应用,对于抽象函数一般用赋值法,本题的难点在于将f(2n)=f(2n-1)+2n,通过在等式左右两边同除2n,得到
f(2n)
2n
=
f(2n-1)
2n-1
+1,由等比数列的性质来解题.
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