Question

已知两圆C₁：（x+4）²+y²=2，C₂：（x-4）²+y²=2．动圆M与两圆都相切，求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

考点：双曲线的定义

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由于动圆与两个定圆都相切，可分两类考虑，若动圆与两定圆相外切或与两定圆都内切，可以得出动圆与两定圆圆心的距离相等，故动圆圆心M的轨迹是一条直线，且是两定圆圆心连线段的垂直平分线．若一内切一外切，则到两圆圆心的距离差是一个常数，由双曲线的定义知，此种情况下轨迹是双曲线．

解答： 解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C₁：（x+4）²+y²=2，C₂：（x-4）²+y²=2，动圆M与两圆C₁，C₂都相切，
∴|MC₁|=|MC₂|，即M点在线段C₁，C₂的垂直平分线上
又C₁，C₂的坐标分别为（-4，0）与（4，0）
∴其垂直平分线为y轴，
∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0；
②若一内切一外切，不妨令与圆C₁：（x+4）²+y²=2内切，与圆C₂：（x-4）²+y²=2外切，则M到C₂的距离减去M到C₂的距离的差是2

2

，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以（-4，0）与（4，0）为焦点，以

2

为实半轴长的双曲线左支，故可得b²=c²-a²=14，故此双曲线的方程为

x2

2

-

y2

14

=1（x＜0）．
同理与圆C₁：（x+4）²+y²=2外切，与圆C₂：（x-4）²+y²=2内切，此双曲线的方程为

x2

2

-

y2

14

=1（x＞0）．
∴此双曲线的方程为

x2

2

-

y2

14

=1．
综①②知，动圆M的轨迹方程为

x2

2

-

y2

14

=1或x=0．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，及垂直平分线的定义，考查双曲线的定义，考查分类讨论的数学思想．