Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2且S_n=S_n-1+2n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）是否存在等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉？若存在，则求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（I）因为S_n=S_n-1+2n，所以S_n-S_n-1=2n对n≥2，n∈N^*成立．由此能求出{a_n}是等差数列，从而能够得到Sn=

a1+an

2

•n=n2+n，n∈N^*．
（II）存在．由a_n=2n，n∈N^*对成立，知a₃=6，a₉=18，又a₁=2，故由b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉，得存在以b₁=2为首项，公比为3的等比数列{b_n}，其通项公式为b_n=2•3^n-1．

解答：解：（I）因为S_n=S_n-1+2n，
所以有S_n-S_n-1=2n对n≥2，n∈N^*成立（2分）
即a_n=2n对n≥2成立，又a₁=S₁=2•1，
所以a_n=2n对n∈N^*成立（3分）
所以a_n+1-a_n=2对n∈N^*成立，所以{a_n}是等差数列，（4分）
所以有Sn=

a1+an

2

•n=n2+n，n∈N^*（6分）
（II）存在．（7分）
由（I），a_n=2n，n∈N^*对成立
所以有a₃=6，a₉=18，又a₁=2，（9分）
所以由b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉，则

b2

b1

=

b3

b2

=3（11分）
所以存在以b₁=2为首项，公比为3的等比数列{b_n}，
其通项公式为b_n=2•3^n-1．（13分）

点评：本题考查等差数列的证明及其前n项和的求法，考查等比数列前n项和公式的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．