Question

【题目】将函数f（x）= sin（2x﹣ ）+1的图象向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有的性质（填入所有正确的序号） ①最大值为 ，图象关于直线x= 对称；②在（﹣ ，0）上单调递增，且为偶函数；③最小正周期为π；④图象关于点（ ，0）对称，⑤在（0， ）上单调递增，且为奇函数．

Answer 1

【答案】①③⑤
【解析】解：将函数f（x）= sin（2x﹣ ）+1的图象向左平移 个单位长度， 得到函数y= sin[2（x+ ）﹣ ]+1= sin2x+1的图象；
再向下平移1个单位长度后，得到函数g（x）= sin2x的图象，
∵g（x）= sin2x的最大值为 ，令2x=kπ+ ，k∈Z，可得解得函数的对称轴方程为：x= + ，k∈Z，
当k=1时，可得x= ，即其图象关于直线x= 对称，故①正确；
∵g（x）= sin2x为奇函数，故②错误；
∵最小正周期T= =π，故③正确；
∵ sin（2× ）= sin = ，故④错误；
∵令2k ≤2x≤2kπ+ ，k∈Z，可解得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
当k=0时，可得函数在（0， ）上单调递增，又为奇函数，故⑤正确．
所以答案是：①③⑤．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．